Frustration géométrique -

un peu de poésie dans ce monde de rhombicuboctaèdres

 

Les alvéoles d’abeille sont le pavage avec la plus petite circonférence qui soit et donc nécessitant le moins de matière. Le passage en 3D nous emporte rapidement à des casse-têtes plus complexes. Dans la recherche du pavage spatial on s’inspire entre autres de la mousse de bière, structure intéressante de par son effet sur le corps mais pas la plus simple à apprivoiser en termes géométriques. En défrichant cette jungle de volumes aux formes de moucharabieh tridimensionnels et aux noms sympas - tels que le petit rhombicuboctaèdre ou l’icositétraèdre trapézoïdal - nous nous rappelons soudainement que nous n’avions pas intégré une prépa scientifique et que malgré la description pointilleuse (« 12 sommets

 

du cuboctaèdre :                                  et permutés » pour 

 

l’icosaèdre trapézoïdal) et que notre bonne volonté ne suffit pas à recréer ce volume par ce biais. Grâce à l’immensité infinie du web, nous trouvons toutes sortes de descriptions qui ne nous amènent pas forcément plus loin, car même en relisant « Si l'on tourne la calotte supérieure d'un huitième de tour (noter ci-contre que le sommet de degré 3 central est à l'aplomb d'un sommet de degré 4 et non 3), on obtient un polyèdre à faces isométriques et sommets réguliers qui n'est pas semi-régulier : le gyro-icositétraèdre trapézoïdal, lui-même dual du gyro-rhombicuboctaèdre. Il n'est pas semi-régulier car les sommets de degré 4 ne sont pas isométriques entre eux.» je finis par me rabattre sur celle-ci « Autre construction : prenez trois élastiques et ficelez un cube en passant par le milieu des arêtes ; ensuite, il faut tirer sur les élastiques…», plus visuelle mais qui me frustre. Cette frustration ne vient pas seulement de l’incapacité de tirer quoi que ce soit de ce qui touche à autre chose qu’à des cubes ou des élastiques, mais aussi du fait qu’une fois enfin le volume apprivoisé, il est impossible de le combiner de façon à en créer un pavage spatial (ce qui était tout de même l’idée de départ), car « Le pavage de l’espace par des tétraèdres réguliers est impossible car l’angle au sommet n’est pas sous multiple de 2π. » lis-je. Et ça je comprends bien, car je le vois, je le sens, je l’entends craquer (élastique ou non) lorsque j’essaie de joindre les deux dernières faces de la maquette en force et que les faces d’en face - simultanément, tel une chorégraphie bien répétée - s’entrouvrent d’un poil, pas grand chose, juste ce qu’il faut pour pas que ca fonctionne. J’apprends à l’occasion qu’il existe un terme à cela, de son nom très bien trouvé: la frustration géométrique.